Роман Чумак розпочав свій футбольний шлях в криворізькому «Кривбасі», потім — у дніпропетровському УФК. До Кривого Рогу його взяли як нападника, але згодом Роман перейшов на позицію воротаря. Першими професійними клубами молодого гравця були «Прикарпаття-2» та «Енергетик» (Бурштин), в складі яких Роман виступав у сезоні 1999/00 років, але за основний склад в цих клубах так і не зіграв жодного матчу.

З 2000 по 2004 роки захищав кольори «Гірника-Спорту». Саме в цій команді й дебютував на професійному рівні.

В сезоні 2016/2017, в складі МФК «Миколаїв», грав у півфіналі Кубку України проти київського «Динамо».

Також, Роман виступав у складах таких команд: «Ворскла» (Полтава), «Кремінь» (Кременчук), ПФК «Олександрія», «Шахтар» (Свердловськ) та «Карлівка».

Останнім місцем роботи був МФК «Миколаїв-2», де в системі «корабелів» у займався підготовкою голкіперів.